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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Klasse
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\documentclass[10pt,a4paper]{scrartcl}



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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=12mm, bottom=10mm, paperwidth=210mm, paperheight=297mm}
\fancyhf{}																								%Kopf-/Fu?zeilenfelder leeren
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\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm}Lst ?konometrie, Uni Regensburg, Nov 2012}
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}


\setlength{\parindent}{0mm}
\input xy
\xyoption {all}
\usepackage[all, knot]{xy}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 7. Body
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\begin{document}	
\vspace{-2.5cm}
\section*{Zusammenhang zwischen Normalverteilung und $\chi^2-$, $F-$ und $t-$Verteilung}
Im Folgenden ist eine kleine ?bersicht der Verteilungen, deren Zusammenh?nge man f?r Standardtests ben?tigt.\\
Stillschweigend wird hier davon ausgegangen, dass, falls man eine Interaktion von mehreren Zufallsvariablen hat, d.\, h.\, bei den Quotienten, Produkte und Summen von Zufallsvariablen der $t_n, \chi^2, F$- Verteilungen, die auftretenden Zufallsvariablen paarweise stochastisch unabh?ngig zueinander sind. 
\vspace{-0.5cm}

\begin{center}
$\xymatrix@1{
& \begin{xy}
*++++{\txt{$X$ ist normalverteilt \\ $X \sim N(\mu, \sigma^2)$}}*\frm{-,}\end{xy} \ar@<4ex>[d]^{Z:=\frac{X-\mu}{\sigma}}  & \\
&\ar@<1ex>[ld]^{\hspace{15mm}T:=\frac{Z}{\sqrt{Y/n}}\text{ wobei } Z \sim N(0,1), Y \sim \chi^2_n} \begin{xy}*++++{\txt{$Z$ ist standardnormalverteilt \\ $Z \sim N(0, 1)$}}*\frm{-,}\end{xy}\ar[rd]^{\hspace{1cm}Y:=Z_1^2+...+Z_n^2}\ar@<1ex>[u]^{X:=\sigma Z + \mu}  & \\
 \begin{xy} *++++{\txt{$T$ ist $t_n-$verteilt \\ $T \sim t_n$ \\ mit $n$ Freiheitsgraden \\ (df, degrees of freedom) }}*\frm{-,} \end{xy}\ar@{.>}[ru]^{n>30}\ar[rd]_{T^2 \sim F(1,n)\hspace{1cm}}&  &\ar[ll] \ar[ld]^{\hspace{1cm}F:=\frac{Y_1/m}{Y_2/n} \text{ wobei } Y_1 \sim \chi^2_m, Y_2 \sim \chi^2_n} \begin{xy}
*++++{\txt{$Y$ ist $ \chi^2_n-$verteilt \\ $Y \sim \chi^2_n$ \\ mit $n$ Freiheitsgraden \\ (df, degrees of freedom) }}*\frm{-,} \end{xy}\ar@/_4pc/[luu]_{n>100:\hspace{2mm} Y\sim N(n, 2n)}\\
&  \begin{xy}
*++++{\txt{$F$ ist $F-$verteilt \\ $F \sim F(m,n)$ \\ mit $m$ Z?hlergraden \\ und $n$ Nennergraden}}*\frm{-,}\end{xy} & \\
}$\vspace{-0.5cm}
\end{center}
\textbf{Definitionen:}
\begin{itemize}
\vspace{-0.3cm}
\item Normalverteilung:\\
Eine Zufallsvariable $X$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $f:\R\to\R$ hei?t \textbf{normalverteilt}, \\
in Zeichen $X \sim N(\mu, \sigma^2), \mu \in \R, \sigma^2 \in \R^+$, falls die Wahrscheinlichkeitsdichte folgende Form hat:
\vspace{-0.3cm}
\begin{equation*}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} \vspace{-0.5cm}
\end{equation*}\vspace{-0.5cm}

\item Standardormalverteilung:\\
Eine normalverteile Zufallsvariable $Z\sim N(\mu, \sigma^2)$ hei?t \textbf{standardnormalverteilt}, falls $\mu=0$ und $\sigma^2=1$.
\item $\chi^2$-Verteilung:\\
Eine Zufallsvariable $Y$ hei?t \textbf{$\chi^2$-verteilt mit $n$ Freiheitsgraden}, in Zeichen $X \sim \chi^2(n), n \in \N$, falls sie als Summe von $n$ quadrierten, stochastisch unabh?ngigen, standardnormalverteilten Zufallsvariablen $Z_i$ geschrieben werden kann:
\vspace{-0.3cm}
\begin{equation*}
Y = Z_1^2 + \ldots + Z_n^2 \text{ wobei } Z_i \sim N(0,1) \text{ und paarweise st. unabh?ngig f?r $i=1,\ldots, n$} 
\end{equation*}
百利宫_百利宫娱乐平台￥官网 ist ?quivalent zu:
\vspace{-0.5cm}
\begin{equation*}
Y = \sum_{i=1}^n Z_i^2 \text{ f?r } Z_i \sim NID(0,1) \text{ f?r } i =1, \ldots, n \Rightarrow Y \sim \chi^2(n)
\end{equation*}
\item $t$-Verteilung:\\
Eine Zufallsvariable $T$ hei?t \textbf{$t$-verteilt mit $n$ Freiheitsgraden}, in Zeichen $T \sim t(n), n \in \N$, falls sie als Quotient zweier unabh?ngigen Zufallsvariablen geschrieben werden kann, wobei im Z?hler $Z \sim N(0,1)$ und im Nenner die Wurzel einer standardisierten, d.\,h.\, in diesem Fall durch die Anzahl der Freiheitsgrade $n$ geteilten $\chi^2(n)$-verteilten Zufallsvariable $Y$ steht:\vspace{-0.5cm}
\begin{equation*}
T = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}} \Rightarrow T \sim t(n)
\end{equation*}
\item $F$-Verteilung:\\
Eine Zufallsvariable $F$ hei?t \textbf{$F$-verteilt mit $m$ Z?hlergraden und $n$ Nennergraden}, in Zeichen $F \sim F(m,n), m,n \in \N$, falls sie als Quotient zweier unabh?ngigen , standardisierter, $\chi^2$-verteilter Zufallsvariablen $Y_1 \sim \chi^2(m), Y_2\sim \chi^2(n)$ geschrieben werden kann:\vspace{-0.5cm}
\begin{equation*}
F = \frac{Y_1/m}{Y_2/n}  \Rightarrow F \sim F(m,n)
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{document}