\documentclass[8pt,a4paper]{scrartcl}

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\geometry{left=8mm,right=8mm, top=10mm, bottom=5mm, paperwidth=210mm, paperheight=297mm}
\fancyhf{}																								%Kopf-/Fu?zeilenfelder leeren
\pagestyle{fancy}																						%Seitenstil auf fancy setzen
\fancyhead[L]{SR}																					%im Kopf links den Titel schreiben
\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm}Lst ?konometrie, Uni Regensburg, Nov 2012}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}																				%Im Kopf rechts die Seitenzahl setzen
\fancypagestyle{plain}{}																					% damit auch "plain" Seiten fancy werden
\setlength{\headheight}{14.5pt}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6. Sonstiges
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\setlength{\parindent}{0mm}
\input xy
\xyoption {all}
\usepackage[all, knot]{xy}
\usepackage{tabularx}				% zus?tzliche Optionen in \begin{tabular} ... \end{tabular}
	\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}} 	% linksb?ndig mit Breitenangabe z.B. L{3cm}
	\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}} 	% zentriert mit Breitenangabe z.B. C{3cm}
	\newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{#1}} 	% rechtsb?ndig mit Breitenangabe z.B. R{3cm}
	\usepackage{longtable}				% ermoeglicht Tabellenumbruch ueber mehrere Seiten
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 7. Body
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}	
\vspace{-2.5cm}
\section*{Interpretation der Regressionskoeffizienten}
Da wir Parameter einzeln bzw. in gleichen Einheiten interpretieren, reicht es ein simples lineares Regressionsmodell f?r die verschiedenen Interpretationsformen der Parameter zu betrachten. \\
Was ist notwendig, um Parameter interpretieren zu k?nnen?
\begin{itemize}
\item Die Annahmen f?r die asymptotischen oder exakten Tests.
\item Parameter ist theoretisch und statistisch signifikant. 
\end{itemize}

Zwei wichtige Definitionen:
\begin{itemize}
\item "`c.\,p.\,"' steht f?r ceteris paribus, was w?rtlich "`bei gleichen sonstigen"' bedeutet und man im multiplen (!) linearen Regressionsmodell (und nicht wie hier im simplen linearen Regressionsmodell, deswegen in Klammern) deswegen anf?gt, da es damit m?glich ist die Werte aller erkl?renden Variablen \textbf{ausser einer} (d.\,h.\,insbesondere auch Interaktionen) kostant zu halten und zu pr?fen, wie sich der bedingte Erwartungswert der erkl?rten Variablen ver?ndert (?quivalenz zum Manipulieren einer Kontrollvariable in einem kontrollierten Zufallsexperiment).
\item "`im Durchschnitt"' oder "`durchschnittlich"' steht f?r die Interpretation des bedingten Erwartungswerts (und nicht zum Beispiel des bedingten Quantils).
\item "`approximativ"' und "`exakt"' stehen f?r den angen?herten bzw. mit der Formel exakt berechneten Effekt im "`log-level"'-Fall. 
\end{itemize}
?bersicht:
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{5cm}|C{1.6cm}|C{1.4cm}|C{9cm}|} \hline \hline
Modell & Regressand & Regressor & Interpretation \\ \hline 
Level-Level \newline  $y=\beta_0 + \beta_1 x + u$ &  $y $ & $x$  & $\Delta\text{E}[y\mid  x] = \beta_1 \Delta x$ \newline Erh?ht man $x$ um eine Einheit, so ver?ndert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$ um $\beta_1$ Einheiten. \\ \hline
Log-Level \newline  $\log_e(y)=\beta_0 + \beta_1 x + u$ &  $\log_e(y) $ & $x$  & $\frac{\Delta\text{E}[y\mid  x]}{\text{E}[y\mid  x]}\approx \beta_1 \Delta x  \hspace{0.2cm}\Leftrightarrow  \hspace{0.2cm}\%\Delta\text{E}[y\mid  x] \approx 100\beta_1 \Delta x$ \newline Erh?ht man $x$ um eine Einheit, so ver?ndert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$  \textbf{approximativ} um $100 \cdot \beta_1 \%$. \newline Erh?ht man $x$ um eine Einheit, so ver?ndert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$ \textbf{exakt} um $100 \cdot (e^\beta_1 -1)\%$. \newline Unterschiede werden bei Werten $\mid \beta_1 \mid >0.3$ bemerkbar.   \\ \hline
Level-Log \newline  $y=\beta_0 + \beta_1 \log_e(x) + u$ &  $y$ & $\log_e(x)$  & $\Delta\text{E}[y\mid  x]\approx \beta_1 \Delta \log_e(x)  \Leftrightarrow  \Delta\text{E}[y\mid  x] \approx \beta_1/100\% \Delta x $ \newline Erh?ht man $x$ um ein Prozent, so ver?ndert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$ (\textbf{approximativ}) um $\beta_1/100$ Einheiten. \newline  Hierbei ben?tigt man \textbf{keine} exakte Interpretation, da bei einer einprozentigen Erh?hung die Abweichung durch die $\log_e$-Ann?herung marginal ist.\\ \hline
Log-Log \newline  $\log_e(y)=\beta_0 + \beta_1 \log_e(x) + u$ &  $\log_e(y) $ & $\log_e(x)$  & $\frac{\Delta\text{E}[y\mid  x]}{\text{E}[y\mid  x]}\approx \beta_1 \frac{\Delta x}{x} \hspace{0.2cm}\Leftrightarrow  \hspace{0.2cm}\%\Delta\text{E}[y\mid  x] \approx \beta_1 \%\Delta x$ \newline Erh?ht man $x$ um ein Prozent, so ver?ndert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$  um $\beta_1 \%$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}