\documentclass[8pt,a4paper]{scrartcl}

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\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm}Lst ?konometrie, Uni Regensburg, Nov 2014}
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\begin{document}	
\section*{?bersicht ?ber der Matrizenoperatoren $\tr, \vec, \otimes$ und $T_{m,n}$}
Im Folgenden sei $A$ eine $n \times m$-Matrix und $B$ eine $p\times q$-Matrix, also Abbildungen $\R^n \to \R^m$ nzw. $\R^p \to \R^q$, $X, Y$ variabel und passend; definiere folgende Operatoren:
\bit
\item Spur-Operator: $\tr: \R^{n\times n} \to \R^{1 \times 1}$ mit: \beqs \tr(X):= \sum_{i=1}^n x_{ii}\eeqs
\item Vec-Operator: $\vec:\R^{n \times m} \to \R^{mn \times 1}$ mit: \beqs \vec(A):= \bmat a_{11} & \cdots & a_{m1} & a_{12} & \cdots & a_{m2} &\cdots &a_{mn}\emat^T \eeqs (Konvention: Spalten einer Matrix werden aufeinander gestapelt, beginnend mit der ersten von oben)
\item Kronecker-Produkt $\otimes: \R^{n \times m} \times \R^{p \times q} \to \R^{mp \times nq}$ mit: \beqs A \otimes B:= \bmat a_{11} B & a_{12} B & \cdots  & a_{1n} B\\ a_{21} B & a_{22} B & \cdots  & a_{2n} B\\ \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\a_{m1} B & a_{m2} B & \cdots  & a_{mn} B \emat \eeqs (Jeder Eintrag der linken Matrix wird mit der rechten Matrix multipliziert; dies is offensichtlich nicht kommutativ!)
\item Permutationsmatrix: $T_{m,n}: \R^{mn \times 1} \to \R^{mn\times 1}$ definiert durch: \beqs T_{m,n} \vec(A)=\vec(A^T) \eeqs (Einfaches Beispiel rechnen; man sieht sofort, dass es sich um eine orthogonale Matrix mit nur Einsen und Nullen handelt)
\eit
\textbf{?bersicht der Operatoreigenschaften:}\\

\bit
\item Vec-Operator:
\bit
\item Additivit?t: $\vec(A+B)=\vec(A)+\vec(B)$ f?r zwei quadratische Matrizen gleicher Dimension.
\item Skalarmultiplikation: $\vec(\alpha A)=\alpha \vec(A)$ f?r $\alpha \in \R$.
\eit
\item Distributivgesetze:
Sei $A\in \R^{m\times n}, B\in \R^{p\times q}, C\in \R^{n\times k}, D\in \R^{q\times l}$
\bit
\item $\tr(a X + bY)= a \tr (X) + b \tr (Y)$ (f?r Skalare $a, b \in \R$ und $X,Y \in \R^{n \times n}$)
\item $\tr(A X) =\tr(X A)$ (nur falls $X\in \R^{m \times n}$)
\item $\tr(AX)=\vec(A^T)^T \vec(X)$
\item $\tr(X)=\rk(X)$ (nur falls $X \in \R^{n\times n}$ und idempotent)
\item $(AC \otimes BD)=(A\otimes B)(C\otimes D) \in \R^{mp\times kl}$
\item $(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1} \in \R^{n^2 \times n^2}$ (nur falls $mp=nq$ und nur falls $n=m$, also $n=m=p=q$)
\item $(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T \in \R^{nq \times mp}$
\item $\vec(AXB)=(B^T \otimes A) \cdot \vec(X) \in \R^{nq\times 1}$ (nur falls $X\in \R^{m \times p}$) 
\item $T_{m,n}=T_{n,m}^T$
\item $T_{n,m}T_{m,n} = I_{mn}$
\item $T_{n,m}=T_{m,n}^{-1}$
\item $B \otimes A =T_{p,m} (A\otimes B) T_{n,q} \in \R^{mp \times nq}$
\eit
\eit
\end{document}