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\begin{document}
\setcounter{secnumdepth}{-1}

 
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\subsection{Einfache Strukturen in der Mathematik}
\hspace{90mm} \small{\copyright Stefan Rameseder}
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	\subsubsection{Monoid}
	
	Ein Monoid $(M, \cdot)$ ist eine Menge M zusammen mit einer Abbildung $\cdot: M \times M \rightarrow M$ mit $(a,b) \mapsto a\cdot b$, s.d. gilt:
	\begin{itemize}
		\item Assoziativit"at der Verkn"upfung: \\
		 	$\forall a,b,c \in M: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
		\item Existenz des Neutralen:\\
			$\exists e \in M: e \cdot a = a \hspace{3mm} \forall a\in M$
	\end{itemize}
	

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	\subsubsection{Gruppe}
	
	Ein Gruppe $(G, \cdot)$ ist eine Menge G zusammen mit einer Abbildung $\cdot: G \times G \rightarrow G$ mit $(a,b) \mapsto a\cdot b$, s. d. gilt:
	\begin{itemize}
		\item Assoziativit"at der Verkn"upfung: \\
		 	$\forall a,b,c \in G: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
		\item Existenz des Neutralen:\\
			$\exists e \in G: e \cdot a = a \hspace{3mm} \forall a\in G$
		\item Existenz des Inversen:\\
			$\forall a \in G \exists b \in G: a\cdot b = e = b \cdot a$\\
			In diesem Fall schreibt man: $b=a^{-1}$
	\end{itemize}
	Man spricht von einer abelschen oder kommutativen Gruppe, falls zus"atzlich noch gilt: 
	\begin{itemize}
		\item Kommutativit"at;\\
			$\forall a, b \in G: a\cdot b = b \cdot a$\\
	\end{itemize}	
	Jede Gruppe ist also auch ein Monoid oder besser gesagt, ein Monoid ist ein Gruppe, falls f"ur jedes Element des Monoids ein Inveres existiert. 

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	\subsubsection{Beispiele f"ur Monoide und Gruppen}

	Monoide:	
	\begin{itemize}
		\item $(\mathbb{N}_0,+)$ mit 0 als neutralem Element
		\item $(\mathbb{N},\cdot)$ mit 1 als neutralem Element
		\item $(\mathbb{Z},\cdot)$ mit 1 als neutralem Element
		\item $(\mathbb{Z}, - )$ ist KEIN Monoid, da die Verkn"upfung nicht assoziativ ist
		\item  $(\mathbb{R}^{n\times n},\cdot)$ Menge der $n \times n$-Matrizen mit der Einheitsmaxtrix als Neutrales
	\end{itemize}
	
	Gruppen:	
	\begin{itemize}
		\item $(\mathbb{Z},+)$ mit 0 als neutralem Element
		\item ($\mathbb{Q}$ bzw. $\mathbb{R}$, $+$ bzw. $\cdot$) mit 0 bzw. 1 als neutralem Element
		\item $(S_n, \circ)$ Symmetrische Gruppe mit der Identit"at als neutralem Element
	\end{itemize}

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	\subsubsection{Ring}
	
	Ein Ring $(R, \diamond, \star)$ ist eine Menge R zusammen mit zwei Verkn"upfungen $\diamond: R \times R \rightarrow R$ und $\star: R \times R \rightarrow R$, s. d. gilt:
	\begin{itemize}
		\item $(R, \diamond)$ ist eine abelsche Gruppe
		\item $\star$ ist assoziativ
		\item Beide Verkn"upfungen sind miteinander vertr"aglich (Distributivit"at):\\
			$a \star (b \diamond c) = a \star b \diamond a \star c $ und $(a \diamond b) \star c = a \star c \diamond b \star c \hspace{3mm} \forall a,b,c \in R$\\
	\end{itemize}
	Man spricht von einem Ring mit Eins oder einem unit"aren Ring, falls $(R, \star)$ ein Monoid ist. Man spricht von einem kommutativen Ring, falls $\star$ kommutativ ist.\\
	Man spricht von einem nullteilerfreien Ring oder Integrit"atsbereich, falls aus $ a \star b = 0$ schon folgt, dass  $a=0$ oder $b=0 \hspace{3mm} \forall a,b \in R$ ist. \\
	Man bezeichnet oft die erste Verkn"upfung als Addition (hier $\diamond$) mit Neutralem 0 und Inversem -a und die zweite Verkn"upfung als Multiplikation mit Neutralem 1 und Inversem $a^{-1}$
	
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	\subsubsection{K"orper}
	
	Ein K"orper $(K, \diamond, \star)$ ist eine Menge K zusammen mit zwei Verkn"upfungen $\diamond: K \times K \rightarrow K$ und $\star: K \times K \rightarrow K$, s. d. gilt:
	\begin{itemize}
		\item $(K, \diamond)$ ist eine abelsche Gruppe
		\item $(K\backslash 0, \star)$ ist eine abelsche Gruppe
		\item Beide Verkn"upfungen sind miteinander vertr"aglich (Distributivit"at):\\
			$a \star (b \diamond c) = a \star b \diamond a \star c $ und $(a \diamond b) \star c = a \star c \diamond b \star c \hspace{3mm} \forall a,b,c \in R$\\
	\end{itemize}

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	\subsubsection{Beispiele f"ur Ringe und K"orper}

	Ringe:	
	\begin{itemize}
		\item $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit 0 und 1 als neutrale Elemente
		\item $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, + , \cdot)$ mit $n \in \mathbb{N}$ ist ein kommutativer Ring mit 0 und 1 als neutrale Elemente, jedoch nicht zwingend nullteilerfrei
		\item R sei ein Ring, dann ist auch $(R[X], + , \cdot)$ der Polynomring ein Ring.
		\item R = $\{f  \rVert  f:J\rightarrow \mathbb{R}\}$ ist durch folgende Verkn"upfungen ein Ring:\\$(f+g)(x) :=f(x)+g(x)$ und $(f \cdot g)(x):=f(x) \cdot g(x)$
	\end{itemize}
	
	K"orper:	
	\begin{itemize}
		\item $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$, $(\mathbb{C},+,\cdot)$
		\item $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, + , \cdot)$ wobei p eine Primzahl ist
		\item Sei K die Menge $K=\{0,1\}$. Hier kann man schon einen K"orper definieren.
	\end{itemize}

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	\subsubsection{Modul}
	Ein Modul "uber einem (kommutativen) Ring  $(R, +, \cdot)$ - ein R-Modul - ist eine abelsche Gruppe (M,+) zusammen mit einer verbindenden Verkn"upfung $\circ: R \times M \rightarrow M$ mit $(r,m) \mapsto r\circ m$, die man Skalarmultiplikation nennt, so dass gilt:
	\begin{itemize}
		\item $r_1 \cdot (r_2 \circ m)= (r_1 \cdot r_2) \circ m$
		\item $(r_1 + r_2) \circ m= r_1 \circ m + r_2 \circ m$
		\item $r \circ (m_1 + m_2)= r \circ m_1 + r  \circ m_2 \hspace{3mm} \forall m,m_1,m_2 \in M, \hspace{3mm} \forall r,r_1,r_2 \in R$
	\end{itemize}
	
	Hierbei muss man nat"urlich wieder darauf achten, welche Eigenschaften der Ring besitzt (Nullteilerfreiheit, Kommutativit"at, Einselement). 
	
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	\subsubsection{Vektorraum}
	Ein Vektorraum "uber einem K"orper  $(K, +, \cdot)$ - ein K-Vektorraum - ist eine abelsche Gruppe (M,+) zusammen mit einer verbindenden Verkn"upfung $\circ: K \times M \rightarrow M$ mit $(k,m) \mapsto k\circ m$, die man Skalarmultiplikation nennt, so dass gilt:
	
	\begin{itemize}
		\item $k_1 \cdot (k_2 \circ m)= (k_1 \cdot k_2) \circ m$
		\item $(k_1 + k_2) \circ m)= k_1 \circ m + k_2 \circ m$
		\item $k\circ (m_1 + m_2)= k\circ m_1 + k  \circ m_2 \hspace{3mm} \forall m,m_1,m_2 \in M, \hspace{3mm} \forall k,k_1,k_2 \in K$
		\item Insbesondere muss auch gelten: $1_K \circ m = m$
	\end{itemize}
	
	Anders ausgedr"uckt: Da jeder K"orper ein Ring ist, ist jeder Vektorraum ein Modul. 
	
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	\subsubsection{Algebra}
	"Ahnlich wie man bei einer Gruppe (oder Monoid) von einer Verkn"upfung zu einer neuen Struktur mir zwei Verkn"upfungen (Ring, K"orper) "ubergeht, gelangt man von einem Vektorraum zu einer Algebra. \\
	Eine Algebra ist ein Vektorraum, dessen abelsche Gruppe zus"atzlich noch eine Multiplikation besitzt, oder anders formuliert: \\
	Eine Algebra "uber einem K"orper $(K, +, \cdot)$ - eine K-Algebra - ist ein Ring $(C, \diamond, \star)$ zusammen mit einer verbindenden Verkn"upfung $\circ: K \times C \rightarrow C$, die man Skalarmultiplikation nennt, so dass $\forall k,k_1,k_2 \in K, \hspace{1mm} \forall c,c_1,c_2 \in C$ gilt:
	
	\begin{itemize}
		\item $k_1 \cdot (k_2 \circ c)= (k_1 \cdot k_2) \circ c$
		\item $c_1 \star (c_2 \circ k)= (c_1 \star c_2) \circ k$
		\item $(k_1 + k_2) \circ c= k_1 \circ c \diamond k_2 \circ c$
		\item $(c_1 \diamond c_2) \circ k= c_1 \circ k \diamond c_2 \circ k$
		\item Insbesondere muss auch gelten: $1_K \circ c = c$
	\end{itemize}

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	\subsubsection{Beispiele f"ur Moduln, Vektorr"aumen und Algebren}
	
Moduln:	
	\begin{itemize}
		\item Jede abelsche Gruppe ist in trivialer Weise ein $\mathbb{Z}$-Modul
		\item Jeder Ring ist ein Modul "uber sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von R
	\end{itemize}	
	
Vektorr"aume:	
	\begin{itemize}
		\item $\mathbb{Q}^n, \mathbb{R}^n, \mathbb{C}^n$ sind in trivialer Weise $\mathbb{Q}$-, $\mathbb{R}$-, $\mathbb{C}$-Vektorr"aume
		\item Raum der affinen Funktionen A=$\{f, f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax+b\}$ bilden mit der punktweisen Addition einen $\mathbb{R}$-Vektorraum
		\item Sei K[X] der Polynomring. Dann bildet auch K[X] in trivialer Weise einen K-Vektorraum
		\item $C^n(J,\mathbb{R})$ bilden f"ur $J \subset \mathbb{R}$ bilden mit der punktweisen Addition einen $\mathbb{R}$-Vektorraum (f"ur $0\le n \le \infty$)
	\end{itemize}	
	
Algebren:	
	\begin{itemize}
		\item $C^n(J,\mathbb{R})$ bilden f"ur $J \subset \mathbb{R}$ bilden mit der punktweisen Addition und Multiplikation eine $\mathbb{R}$-Algebra (f"ur $0\le n \le \infty$)
		\item $\mathbb{R}^3$ bildet mit der Addition und dem (Vektor- bzw.) Kreuzprodukt eine $\mathbb{R}$-Algebra
	\end{itemize}		
	
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\end{document}